一元一次方程
一元一次方程
方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容.最簡單的方程是一元一次方程,它是進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)方程的基礎(chǔ),很多方程都可以通過變形化為一元一次方程來解決.本講主要介紹一些解一元一次方程的基本方法和技巧.
用等號連結(jié)兩個代數(shù)式的式子叫等式.如果給等式中的文字代以任何數(shù)值,等式都成立,這種等式叫恒等式.一個等式是否是恒等式是要通過證明來確定的.
如果給等式中的文字(未知數(shù))代以某些值,等式成立,而代以其他的值,則等式不成立,這種等式叫作條件等式.條件等式也稱為方程.使方程成立的未知數(shù)的值叫作方程的解.方程的解的集合,叫作方程的解集.解方程就是求出方程的解集.
只含有一個未知數(shù)(又稱為一元),且其次數(shù)是1的方程叫作一元一次方程.任何一個一元一次方程總可以化為ax=b(a≠0)的形式,這是一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(最簡形式).
解一元一次方程的一般步驟:(1)去分母;(2)去括號;(3)移項;(4)合并同類項,化為最簡形式ax=b;(5)方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù),得出方程的解.
一元一次方程ax=b的解由a,b的取值來確定:
(2)若a=0,且b=0,方程變?yōu)?/font>0·x=0,則方程有無數(shù)多個解;
(3)若a=0,且b≠0,方程變?yōu)?/font>0·x=b,則方程無解.
例1 解方程
解法1 從里到外逐級去括號.去小括號得
去中括號得
去大括號得
解法2 按照分配律由外及里去括號.去大括號得
化簡為
去中括號得
去小括號得
例2 已知下面兩個方程
有相同的解,試求a的值.
分析 本題解題思路是從方程①中求出x的值,代入方程②,求出a的值.
解 由方程①可求得3x-5x=-6,所以x=3.由已知,x=3也是方程②的解,根據(jù)方程解的定義,把x=3代入方程②時,應(yīng)有
例3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解為a+2,求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解.
解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5.由題設(shè)知a+2=5,所以a=3.于是有
例4 解關(guān)于x的方程(mx-n)(m+n)=0.
分析 這個方程中未知數(shù)是x,m,n是可以取不同實數(shù)值的常數(shù),因此需要討論m,n取不同值時,方程解的情況.
解 把原方程化為
整理得 m(m+n)x=n(m+n).
當(dāng)m+n≠0,且m=0時,方程無解;
當(dāng)m+n=0時,方程的解為一切實數(shù).
說明 含有字母系數(shù)的方程,一定要注意字母的取值范圍.解這類方程時,需要從方程有唯一解、無解、無數(shù)多個解三種情況進(jìn)行討論.
例5 解方程
分析 本題將方程中的括號去掉后產(chǎn)生x2項,但整理化簡后,可以消去x2,也就是說,原方程實際上仍是一個一元一次方程.
解 將原方程整理化簡得
即 (a2-b2)x=(a-b)2.
(1)當(dāng)a2-b2≠0時,即a≠±b時,方程有唯一解
(2)當(dāng)a2-b2=0時,即a=b或a=-b時,若a-b≠0,即a≠b,即a=-b時,方程無解;若a-b=0,即a=b,方程有無數(shù)多個解.
例6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是關(guān)于x的一元一次方程,求代數(shù)式199(m+x)(x-2m)+m的值.
解 因為(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是關(guān)于x的一元一次方程,所以
(1)當(dāng)m=1時,方程變?yōu)?/font>-2x+8=0,因此x=4,代數(shù)式的值為
(2)當(dāng)m=-1時,原方程無解.
所以所求代數(shù)式的值為1991.
例7 已知關(guān)于x的方程a(2x-1)=3x-2無解,試求a的值.
解 將原方程變形為
即 (2a-3)x=a-2.
由已知該方程無解,所以
例8 k為何正數(shù)時,方程k2x-k2=2kx-5k的解是正數(shù)?
來確定:
(1)若b=0時,方程的解是零;反之,若方程ax=b的解是零,則b=0成立.
(2)若ab>0時,則方程的解是正數(shù);反之,若方程ax=b的解是正數(shù),則ab>0成立.
(3)若ab<0時,則方程的解是負(fù)數(shù);反之,若方程ax=b的解是負(fù)數(shù),則ab<0成立.
解 按未知數(shù)x整理方程得
要使方程的解為正數(shù),需要
看不等式的左端
因為k2≥0,所以只要k>5或k<2時上式大于零,所以當(dāng)k<2或k>5時,原方程的解是正數(shù),所以k>5或0<k<2即為所求.
例9 若abc=1,解方程
解 因為abc=1,所以原方程可變形為
化簡整理為
化簡整理為
說明 像這種帶有附加條件的方程,求解時恰當(dāng)?shù)乩酶郊訔l件可使方程的求解過程大大簡化.
例10 若a,b,c是正數(shù),解方程
解法1 原方程兩邊乘以abc,得到方程
ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc.移項、合并同類項得
因此有
因為a>0,b>0,c>0,所以ab+bc+ac≠0,所以
即x=a+b+c為原方程的解.
解法2 將原方程右邊的3移到左邊變?yōu)?/font>-3,再拆為三個“-1”,并注意到
其余兩項做類似處理.
設(shè)m=a+b+c,則原方程變形為
所以
即
所以x=a+b+c為原方程的解.
說明 注意觀察,巧妙變形,是產(chǎn)生簡單優(yōu)美解法所不可缺少的基本功之一.
例11 設(shè)n為自然數(shù),[x]表示不超過x的最大整數(shù),解方程:
分析 要解此方程,必須先去掉[ ],由于n是自然數(shù),所以n與(n+1)
…,n[x]都是整數(shù),所以x必是整數(shù).
解 根據(jù)分析,x必為整數(shù),即x=[x],所以原方程化為
合并同類項得
故有
所以x=n(n+1)為原方程的解.
例12 已知關(guān)于x的方程
且a為某些自然數(shù)時,方程的解為自然數(shù),試求自然數(shù)a的最小值.
解 由原方程可解得
a最小,所以x應(yīng)取x=160.所以
所以滿足題設(shè)的自然數(shù)a的最小值為2.
1.解下列方程:*
2.解下列關(guān)于x的方程:
(1)a2(x-2)-3a=x+1;
4.當(dāng)k取何值時,關(guān)于x的方程3(x+1)=5-kx,分別有:(1)正數(shù)解;(2)負(fù)數(shù)解;(3)不大于1的解.
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