第三屆青少年數學國際城市邀請賽

第三屆青少年數學國際城市邀請賽

菲律賓  大雅市

ThirdInvitationalWorldYouthMathematicsInter-City Competition

Tagaytay City,

個人賽試題

考試時間: 2 小時

第一部份

填充題：共10小題，每小題6分〈請將各題正確的答案寫在試卷題后的空格內，不必列出計算過程?！?font face="Times New Roman">.

Question 1

n 為整數，若1 + 2 + … + n的和恰等于一個三位數，且此三位數的每個數字皆相同。

試找出所有可能的n。

                                                                  答:

Question 2

五邊形 ABCDE〈如右圖〉中,

試求五邊形 ABCDE的面積。          

                                                                                                 答:

Question 3

若將一個6厘米 ´ 6厘米的正方形蓋在一個三角形上，則最多可蓋住此三角形 60% 的面積。反之，若將此三角形蓋在此正方形上，則最多可蓋住此正方形 的面積。試求這個三角形的面積。                                                          

                                                                                                                 答:                      平方厘米

Question 4

有一組連續(xù)的四個正整數，從小到大依次排列，第一個數是5的倍數；第二個數是7的倍數；第三個數是9的倍數；第四個數是11的倍數。試求此四個連續(xù)正整數。

                                                               答:

Question 5

在5時到6時之間，某人看表時，由于不慎將時針看成分針，造成他看到的時間比正確的時間早了57分鐘。試問正確時間是幾時幾分？

                                                                        答 :          時            分

Question 6

的內切圓分別與三邊BC、CA、AB切于 D、E、F 。若內切圓半徑為4，且 BD、 CE、AF 之長是連續(xù)整數。試求 的三邊長。

                                                                               答:                ，         ，        

Question 7

試求出所有的質數P，使得下列方程組有整數解 ：

                                                                               答:

Question 8

解方程式:    

                                                                               答:

Question 9

化簡      

                                                                       答:

Question 10

設M = 1010101…01 ，其中數字1出現k次，N = 1001001001001。試求出最小的k值使得M能被N整除。

                                                                                                                                                                                   答:

第二部份

計算證明題，共三題，每題20分?！凑堅陬}目下方空白處作答，必須列出詳細計算證明過程，部份解答給部份成績〉

Question 1

a、b為兩個相異的正實數，若 。

試證：

Question 2

試確定實數p的范圍，使得方程式  有兩個相異正實數解。

Question 3

銳角 的三邊長為 a、 b、 c且 。在三角形內作正方形，使得正方形的四個頂點都在 的邊上。經過這樣作出的正方形有三種可能〈例如：正方形有一個頂點在a邊上，有一個頂點在b邊上，有了二個頂點在c邊上〉。這三種可能作出的正方形中，那一個面積最大？請證明你的結果。