線段與角
線段與角
| 線段與角是初中平面幾何中兩個非?；镜母拍?，這兩個概念在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用． 小明做作業(yè)需要買一些文具．在他家的左邊200米處有一家文具店，他從家出發(fā)向文具店走去，走到一半發(fā)現(xiàn)忘了帶錢，又回家取錢買了文具后回到家中．問小明共走了多長的路程？ 在高層建筑中，一般都設(shè)有電梯，人們上樓一般都乘坐電梯，你想過嗎，設(shè)計電梯與線段的什么性質(zhì)有關(guān)？ 鐘表是大家熟悉的計時工具，你可曾觀察過在2點到3點之間什么時候時針與分針重合？什么時候時針與分針成90°角？ 我們還可以在日常生活中提出許多與線段和角有關(guān)的問題，不少問題很有趣，也頗費腦筋，對于留心觀察、勤于思考的人來說是鍛煉腦筋的好機會． 例1 已知：AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E，F分別是AB和CD的中點，且EF=12厘米(cm)，求AD的長(如圖1－6)． 分析 線段EF是線段AD的一部分，題設(shè)給出了EF的長度，只要知道線段EF占全線段AD的份額，就可求出AD的長了． 解 因為AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E是AB中點，F是CD中點，將線段AD 9等分(9=2+3+4)且設(shè)每一份為一個單位，則AB=2，BC=3，CD=4，EB=1，CF=2．從而 例2 在直線l上取 A，B兩點，使AB=10厘米，再在l上取一點C，使AC=2厘米，M，N分別是AB，AC中點．求MN的長度(如圖1－7)． 分析 因為是在直線上取C點，因此有兩種情形：C點在A點的右側(cè)或C點在A點的左側(cè)． 解 若C點在A點的右側(cè)(即在線段AB上)．因為AC=2厘米， N為 AC中點，所以 AN=1厘米；又 AB=10厘米，M為AB中點，所以AM=5厘米．則 MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如圖1－7(a))． 若C點在A點的左側(cè)(即在線段BA延長線上)，此時 MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如圖 1－7(b))． 線段的最基本性質(zhì)是“兩點之間線段最短”，這在生活中有廣泛應(yīng)用．前面所提到的高層建筑所設(shè)電梯的路線，就是連接兩層樓之間的線段，而樓梯的路線則是折線，電梯的路線最短． 例3 如圖1－8所示．在一條河流的北側(cè)，有A，B兩處牧場．每天清晨，羊群從A出發(fā)，到河邊飲水后， 折到B處放牧吃草．請問， 飲水處應(yīng)設(shè)在河流的什么位置，從A到B羊群行走的路程最短？ 分析 將河流看作直線l(如圖1－9所示)．設(shè)羊群在河邊的飲水點為C＇，則羊群行走路程為AC＇+C＇B．設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點為A＇，由對稱性知C＇A＇=C＇A． 因此，羊群行走的路程為 線段A＇C＇與 C＇B是連結(jié)點A＇與點B之間的折線．由線段的基本性質(zhì)知，連結(jié)點A＇與點B之間的線中，線段A＇B最短．設(shè)線段A＇B與直線l交于C．那么，C點就是所選的最好的飲水地點，下面我們來說明這一點． 解 作A關(guān)于直線l的對稱點A＇．連結(jié)B，A＇，并設(shè)線段BA＇與l交于C．設(shè)C＇是l上不同于C的另外一點，只要證明 AC＇+C＇B＞AC+CB ① 即可． 利用線段基本性質(zhì)及點關(guān)于直線的對稱性知 所以 而C＇A＇與C＇B是連結(jié)A＇，B的折線，而A＇B則是連結(jié)這兩點之間的線段，所以 從而①成立，即選擇C點作為羊群的飲水點，羊群的行程最短． 例4 將長為10厘米的一條線段用任意方式分成5小段，以這5小段為邊可以圍成一個五邊形．問其中最長的一段的取值范圍． 分析 設(shè)AB是所圍成的五邊形ABCDE的某一邊(圖 1－10)，而線段BC，CD，DE，EA則可看成是點A，B之間的一條折線，因此， 如果AB是最長的一段，上面的不等式關(guān)系仍然成立，從而可以求出它的取值范圍． 解 設(shè)最長的一段AB的長度為x厘米，則其余4段的和為(10-x)厘米．由線段基本性質(zhì)知x＜10-x，所以x＜5，即最長的一段AB的長度必須小于5厘米． 例5 若一個角的余角與這個角的補角之比是2∶7，求這個角的鄰補角． 分析 這個問題涉及到一個角的余角、補角及兩個角的比的概念，概念清楚了，問題不難解決． 解 設(shè)這個角為α，則這個角的余角為90°-α，這個角的補角為180°-α．依照題意，這兩個角的比為 所以 所以α=54°．從而，這個角的鄰補角為 例6 若時鐘由2點30分走到2點50分，問時針、分針各轉(zhuǎn)過多大的角度？ 分析 解這個問題的難處在于時針轉(zhuǎn)過多大的角度，這就要弄清楚時針與分針轉(zhuǎn)動速度的關(guān)系．每一小時，分針轉(zhuǎn)動360°，而時針轉(zhuǎn)動 解 在2點30分時，時鐘的分針指向數(shù)字6；在2點50分時，時鐘的分針指向數(shù)字10，因此，分針共轉(zhuǎn)過“四格”，每轉(zhuǎn)“一格”為30°，故分針共轉(zhuǎn)過了 在鐘表中，有很多有關(guān)分針、時針的轉(zhuǎn)角問題．解決這類問題的關(guān) 倍)． 例7時鐘里，時針從5點整的位置起，順時針方向轉(zhuǎn)多少度時，分鐘與時針第一次重合(圖1－11)？ 分析 在開始時，從順時針方向看，時針在分針的“前方”，它們相差 5×30°=150°．由于分針轉(zhuǎn)動速度遠遠大于時針轉(zhuǎn)動速度(是它的12倍)，因此，總有一刻，分針“追上”時針(即兩者重合)．具體追上的時刻決定于開始時，分針與時針的角度差及它們的速度比． 解 如分析，在開始時，分針“落后”于時針150°．設(shè)分針與時針第一次重合時，時針轉(zhuǎn)動了α角，那么，分針轉(zhuǎn)動了(150°+α)．因為分鐘轉(zhuǎn)速是時針的12倍，所以 說明 鐘表里的分鐘與時針的轉(zhuǎn)動問題本質(zhì)上與行程問題中的兩人追擊問題非常相似．行程問題中的距離相當(dāng)于這里的角度；行程問題中的速度相當(dāng)于這里時(分)針的轉(zhuǎn)動速度． 下面再看一例． 例8 在4點與5點之間，時針與分針在何時 (1)成120°(圖1－12)； (2)成90°(圖1－12)． 分析與解 (1)在4點整時，時針與分針恰成120°．由于所問的時間是介于4點到5點之間，因此，這個時間不能計入．從4點開始，分針與時針之間的角度先逐步減少，直至兩針重合(夾角為0°)．之后，分針“超過”時針，兩針之間的夾角又逐漸增大(此時，分針在時針的前面)． 直到兩針夾角又一次成為120°，這個時間正是我們所要求的． 設(shè)時針順時針轉(zhuǎn)過a角后，時針與分針(分針在時鐘前)成120°，則 由于時針每轉(zhuǎn)過30°(如從指向數(shù)字4轉(zhuǎn)到指向數(shù)字5)相當(dāng)于1 經(jīng)過了
(2)如圖1－13(a)，(b)所示． 由于在整4點時，時針與分針夾角為120°，因此，在4點與5點之間，時針與分針成90°有兩種情況 ： (i)時針在分針之前(如圖1－13(a))．設(shè)時針轉(zhuǎn)了a角，分針轉(zhuǎn)了12a角，有 所以 11α=30°，
用時
(ii)時針在分針之后(如圖1－13(b))，此時，有關(guān)系 用時 說明 由于時針與分針所成角依時針與分針的“前”“后”次序有兩種情況，因此，按兩針夾角情況會出現(xiàn)一解或兩解． 1．如圖1－14所示．B，C是線段AD上兩點，M是AB的中點，N是CD的中點．若MN=a，BC=b，求AD． 2．如圖1－15所示．A2，A3是線段A1A4上兩點，且A1A2=a1，A1A3=a2，A1A4=a3．求線段A1A4上所有線段之和． 3．如圖1－16所示．兩個相鄰墻面上有A，B兩點，現(xiàn)要從A點沿墻面拉一線到B點．問應(yīng)怎樣拉線用線最??？ 4．互補的兩角之差是28°，求其中一個角的余角． 5．如圖1－17所示．OB平分∠AOC，且∠2∶∠3∶∠4=2∶5∶3．求∠2，∠3，∠4． 6．在晚6點到7點之間，時針與分針何時成90°角？ 7．在4點到6點之間，時針與分針何時成120°角？ |